棱锥  武圣之冠

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:如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫做。用表示顶点和底面各顶点的字母,或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母来表示。如。的底面中的多边形叫做的底面。

基本信息

中文名:

英文名:pyramid

概念:底面,侧面,侧棱,顶点等

特征:有一个面是多边形

概念

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1、如下图中的面abcd就是的底面。的侧面中除底面以外的各个面都叫做的侧面。如图中的面pab、面pcd等都是的侧面。的侧棱相邻侧面的公共边叫做的侧棱。如图中pa、pb等都是的侧棱。的顶点中各个侧面的公共顶点叫做的顶点。如图中p是各个侧面的公共顶点,p是的顶点。的高的顶点到底面的距离叫做的高。如图中,若po⊥底面abcd,垂足是o,那么po就是的高。的对角面中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面。

2.的两个特征是多面体中重要的一种,它有两个本质特征:①有一个面是多边形;②其余的各面是有一个公共顶点的三角形,二者缺一不可。因此有一个面是多边形,其余各面都是三角形。但是也要注意“有一个面是多边形,其余各面都是三角形”的几何体未必是。

3.的分类的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的分别叫做三、四、五。

4.正如果一个的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的叫做正。如图,若p-ac的底面是正多边形,且po底面ac,o为垂足,o是正多边形的中心,则p-ac是正。(如图)正的斜高:正侧面等腰三角形底边上的高,叫做正的斜高。

性质

1.截面性质定理及推论

定理:如果被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与高的平方比。

推论1:如果被平行与底面的平面所截,则的侧棱和高被截面分成的线段比相等。

推论2:如果被平行于底面的平面所截,则截得的小与已知原的侧面积之比也等于它们对应高的平方比;截得的与已知的侧面积之比也等于它们的底面积之比。

2.一些特殊的性质侧棱长都相等的,它的顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的圆心(外心),同时侧棱与底面所成的角都相等。侧面与底面的交角都相等的,它的二面角都是锐二面角,所以顶点在底面内的射影在底多边形的内部,并且它到各边的距离相等即为底多边形的内切圆的圆心(内心),且各侧面上的斜高相等。如果侧面与底面所成角为a,则有osa。如图画出了射影是外心和内心的情况。

3.的侧面积及全面积、体积公式的侧面积及全面积的侧面展开图是由各个侧面组成的,展开图的面积,就是的侧面积,则s侧=s1+s2+…+sn(其中si,i=1,2…n为第i个侧面的面积)s全=s侧+s底的体积和圆锥统称锥体,锥体的体积公式是:(s为锥体的底面积,h为锥体的高)。

4.正有下面一些性质正各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正的斜高);正的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。正的侧棱与底面所成的角都相等;正的侧面与底面所成的二面角都相等。正的侧面积:如果正的底面周长为c,斜高为h

直观图画法

正的直观图由底面和顶点所决定。正底面的画法与直棱柱底面的画法相同。顶点和底面中心的距离等于它的高。下面以正五为例,说明正的直观图的画法。画一个底面边长为5c的正五的直观图,比例尺是。

画法:

(1)画轴。画x′轴、y′轴、z′轴,记坐标原点为o′,使∠x′o′y′=45°(或135°),∠x′o′z′=90°。如图(1)

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(2)画底面。按x′轴、y′轴画正五边形的直观图abcde,按比例尺取边长等于5÷5=1(cm),并使正五边形的中心对应于点o′。

(3)画高线。在z′轴取o′)。

(4)成图。连结、sd、se,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到所画的正五的直观图。

定义

的底面和平行于底面的一个截面间的部分,叫做棱台。由三,四,五……截得的棱台,分别叫做三棱台,四棱台,五棱台。

由正截得的棱台叫做正棱台。

性质

正棱台的性质:

(1)正棱台的侧棱相等,侧面是全等的等腰梯形。各等腰梯形的高相等,它叫做正棱台的斜高;

四棱台

四棱台

(2)正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形;

(3)正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形;两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形。

相关名称

两个平行的面分别叫做上底面和下底面,其余的面叫做侧面,侧面相交的线段叫做侧棱,3条侧棱相交的点叫做顶点。

正棱台各侧面的高叫做棱台的斜高。

体积公式

棱台的体积公式:v=[s+s'+(ss')^(1/2)]h/3

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